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凝聚态物理中的拓扑基础一

                      几何中拓扑分类的简介

考虑一个有N个量子态的量子系统,系统的哈密顿量可以用一个的矩阵H表示,为了获得实数的本征值,在这里我们只考虑哈密顿H为厄米矩阵(近年来,笔者也看到不少非厄米哈密顿的研究工作,但我们不考虑此类问题,所以我们在这里做了限定),这样量子系统可以用定态方程表示

我们要研究量子系统的拓扑性,首先要从几何中的拓扑不变量说起,拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。它的发现可以从一个简单的例子说起,例如:

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上图中有四个凸多面体(a),(b),(c)和(d),我们可以采用它们的顶点数V、棱数E和面数F对它们进行拓扑分类,即

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可以看出虽然外在的表面形式不同,但是它们在拓扑上都属于同一类,我们称之为拓扑不变性。对于连续的曲面,也可以通过上面的方式进行定义,比如对于环

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通过上图发现可以认为是通过中心有孔的立方体连续变换而来,因此两者之者也应该是拓扑不变的,它的欧拉示性数为V-E+F=0;对于球体,相应得就可以认为是通过一个立方体连续变化而来,因上球的欧拉示性数与立方体应该是相同的,即为2.

下表格中列出来常见的一些连续体的欧拉示性数

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那么现在把问题还引回到物理,其实物理学中的量子化很多都来自于拓扑学,假设一个量子系统的哈密顿也通过连续的变换可以变化到哈密顿量,在这个连续的变化过程中,如果某一个物理量(如能隙下所填充的能带个数)并不发生改变,我们即称这个物理量为拓扑不变量,而称哈密顿是拓扑等价的。

在物理上,如果某一个量不变或者说守恒,那一定是伴随着某种对称性而存在的,比如说:时间平移不变性保证了能量守恒定律,空间平移不变性对应着动量守恒定律,而空间旋转不变性对应着角动量守恒。因此在进一步分析哈密顿的拓扑不变性之前,我们先来分析一下哈密顿的对称性。


(未完待续)


分类: Sciencenote

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